Еволюція ергодичної теорії
DOI:
https://doi.org/10.15407/sofs2019.04.102Ключові слова:
ергодичність, ергодична теорія, ергодична гіпотеза, динамічна система, інваріантна міра.Анотація
В статті розглянуто передісторію ергодичної теорії, шляхи розвитку комплексу понять та ідей, які привели до формування і розвитку цієї теорії. Проаналізовано відкриття з ергодичної теорії динамічних систем А.М. Колмогорова, його учнів та послідовників. Показано роль українських вчених М.М. Боголюбова та М.М. Крилова у формуванні цієї теорії. Розглянуто праці харківської школи з ергодичної теорії. Проаналізовано основні напрями досліджень та праці видатних вчених, пов’язані з розвитком ергодичної теорії. Продемонстровано, що ергодична теорія виникла при спробі отримати макроскопічний опис фізичних систем виходячи з мікроскопічного опису за допомогою рівнянь руху; застосування ергодичної теорії до обґрунтування статистичної фізики звелось до задачі встановлення метричної транзитивності; ергодичні теореми дають можливість розглядати граничні часові середні або часові середні на нескінченному проміжку часу, тобто має місце регулярність поведінки динамічних систем, яка пов’язана з усередненням.
Посилання
Bogoliouboff, N. (1931). Sur l’approximation trigonometriques des fonctions dans l’intervalle infini. Proceedings of the USSR Academy of Sciences, 1(2), 23–54 [in Russian].
Fermi, E. (1923). Beweis dass ein Mechnisches Normalsystem in Allgemeinen Quasi-ergodisch ist. Phys. Zs., 24, 261–265.
Krylov, N.M. & Bogolyubov N.N. (1934). Applications of methods of non-linear mechanics to the theory of stationary vibrations. Kyiv: All-Ukrainian Academy of Sciences, 108 [in Russian].
Kryloff, N. & Bogoliouboff, N. (1937). La théorie générale de la mesure dans son applications a l’étude des système dynamiques de la mécanique non linéaire. Ann. Math., 38, 65–113. https://doi.org/10.2307/1968511
Krylov, M.M., Boholiubov, M.M. (1937). The general theory of measure in non-linear mechanics. Collection of works on non-linear mechanics. Kyiv: the USSR Academy of Sciences, 55–112 [in Ukrainian].
Kolmogorov, A.N. (1938). A simplified proof of the ergodic Birgof – Klinchin theorem. Advances of mathematical sciences, 5, 52–56 [in Russian].
Kolmogorov, A.N. (1958). A new metric invariant of transit dynamic systems and automorphisms of the Lebed space. Reports of the USSR Academy of Sciences, 119(5), 861–864 [in Russian].
Kolmogorov, A.N. (1959). Entropy per time unit: a metric invariant of automorphisms. Reports of the USSR Academy of Sciences, 124(4), 754–755 [in Russian].
Sinay, Ya. G. (1959). The notion of the dynamic system’s entropy. Reports of the USSR Academy of Sciences, 124/4, 768–771 [in Russian]
Abramov, L.M. & Sinay, Ya.G. (1959). A seminar devoted to the metric theory of dynamic system of Moscow State University, supervised by V.A. Rokhlin. Advances of mathematical sciences, 14/6(90), 223–225 [in Russian].
Rokhlin, V.A. (2010). Selected works. Supplements to the biography. MTsNMO [in Russian].
Sinay, Ya.G. (1963). Justification of the ergodic hypothesis for one dynamic system of the statistical mechanics. Reports of the USSR Academy of Sciences, 153(6), 1261–1264 [in Russian].
Sinay, Ya.G. (1966). Classical dynamic systems with the even Lebedev spectrum. II. Proceedings of the USSR Academy of Sciences. Series: Mathematics, 30(1), 1568 [in Russian].
Sinay, Ya.G. (1970). Dynamic systems with elastic reflections. Advances of mathematical sciences, 25(4), 141–192 [in Russian].
Ornsteyn, D. (1978). The ergodic theory, randomness and dynamic systems. Moscow: Mir. [in Russian].
Adler, R.L., Konheim, A.G. & Andrew, Мс. (1965). Topological entropy. Мс. Andrew – Trans. AMS., 114, 309–319. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1965-0175106-9
Riecan, В. (1974). Abstract entropy. Acta F.R.N. Univ. Comen. – Mat., 55–67.
Otokar, Grošek. (1979). Entropy on algebraic structures. Mathematica Slovaca. 29 (4), 411–424 [in Russian].
Bratteli, O. (1972). Inductive limits of finite-dimensional C*-algebras. Trans. Am. Math. Soc., 171, 195–234. https://doi.org/10.2307/1996380
Vershik, A. M. (1982). The theorem on Markov periodic approximation in the egrodic theory. Proceedings of scientific seminars of Leningrad Optical Mechanical Institute, 115, 72–82 [in Russian].
Herman, R.H., Putnam, I. & Skau, C. (1992). Ordered Bratteli diagrams, dimension groups, and topological dynamics. Int. J. Math., 3, 827–864. https://doi.org/10.1142/S0129167X92000382
Medynets, K. (2006). Cantor aperiodic systems and Bratteli diagrams. Comptes Rendus Mathematique, 342, issue 1, 43–46. https://doi.org/10.1016/j.crma.2005.10.024
Oxtoby, J.C. & Ulam, S.M. (1941). Measure preserving homeomorphisms and metrical transitivity. Ann. Math. (2), 42, 874–920. https://doi.org/10.2307/1968772
Alpern, S. & Prasad, V.S. (2000). Typical Dynamics of Volume Preserving Homeomorphisms. Cambridge: Cambridge University Press, 240. https://doi.org/10.1017/CBO9780511543180
Navarro-Bermudez, F.J. (1979). Topologically equivalent measures in the Cantor space. Proc. Am. Math. Soc., 77, 229–236. https://doi.org/10.2307/2042644
Akin, E., Dougherty, R., Mauldin, R.D. & Yingst, A. (2008). Which Bernoulli measures are good measures? Colloq. Math., 110, 243–291. https://doi.org/10.4064/cm110-2-2
Austin, T.D. (2007). A pair of non-homeomorphic product measures on the Cantor set. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 142, 103–110. https://doi.org/10.1017/S0305004106009741
Giordano, T., Putnam, I. & Skau, C. (1995). Topological orbit equivalence and C*-crossed products. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 469, 51–112. https://doi.org/10.1515/crll.1995.469.51
Durand, F., Host, B. & Skau, C. (1999). Substitutional dynamical systems. Bratteli diagrams and dimension groups. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 19, 953–993. https://doi.org/10.1017/S0143385799133947
Bezuglyi, S., Kwiatkowski, J. & Medynets, K. (2009). Aperiodic substitution systems and their Bratteli diagrams. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 29(1), 37–72. https://doi.org/10.1017/S0143385708000230
Akin, E. (2005). Good Measures on Cantor space. Transactions of the American Mathematical Society, 357(7), 2681–2722. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-04-03524-X
Karpel, O. (2012). Infinite measures on Cantor spaces. Journal of Difference Equations and Applications, 18(4), 703–720. https://doi.org/10.1080/10236198.2011.620955
Karpel, O. (2012). Good measures on locally compact Cantor sets. J. Math. Phys. Anal. Geom., 8(3), 260–279.
Bezuglyi, S. & Karpel, O. (2014). Orbit Equivalent Substitution Dynamical Systems and Complexity. Proceedings of the American Mathematical Society, 142, 4155–4169. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2014-12139-3
Bezuglyi, S., Karpel, O. & Kwiatkowski, J. (2015). Subdiagrams of Bratteli diagrams supporting finite invariant measures. J. Math. Phys. Anal. Geom., 11(1), 3–17. https://doi.org/10.15407/mag11.01.003
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2019 Наука та наукознавство
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.
