Задача Пуанкаре з вимірними даними для напівлінійних рівнянь Пуассона на площині
DOI:
https://doi.org/10.15407/dopovidi2022.04.010Ключові слова:
крайові задачі Пуанкаре і Неймана, вимірні граничні дані, лограифмічна ємність, напівлінійні рівняння типу Пуассона, нелінійні джерела, кутові границі, недотичні шляхиАнотація
Крайова задача Гільберта належить до найважливіших з огляду на її численні застосування, зокрема, до крайових задач Діріхле, Пуанкаре та Неймана в гідромеханіці. Перший підхід до її розв’язання був запропонований самим Гільбертом і заснований на теорії сингулярних інтегральних рівнянь. На цьому шляху доведено існування її розв’язків для неперервних за Гельдером граничних даних. Лузін уперше встановив існування розв’язків задачі Діріхле при довільних вимірних даних для гармонічних функцій в одиничному крузі в термінах кутових (недотичних) границь м. В. На одиничному колі. Раніше нами були сформульовані теореми існування розв’язків крайової задачі Гільберта при довільних вимірних даних для узагальнених гармонічних функцій з джерелами. Знайдені розв’язки не були класичними, оскільки наш підхід ґрунтувався на інтерпретації граничних значень у сенсі кутових (недотичних) границь, що стало традиційним інструментом геометричної теорії функцій, але не PDE. Представлена стаття містить аналогічні теореми існування розв’язків задачі Пуанкаре про похідні за напрямками на межі і, зокрема, задачі Неймана при довільних граничних даних вимірних відносно логарифмічної ємності уздовж недотичних шляхів для напівлінійних рівнянь Пуассона. Наведено застосування цих результатів до деяких напівлінійних рівнянь математичної фізики, що моделюють різні фізичні процеси, такі як дифузія з абсорбцією, процес стаціонарного горіння та стани плазми.
Завантаження
Посилання
Gutlyanskiĭ, V., Nesmelova, O., Ryazanov, V. & Yefimushkin, A. (2021). Logarithmic potential and generalized analytic functions. J. Math. Sci., 256, pp. 735-752. https: //doi. org/10. 1007/s10958-021-05457-5
Sobolev, S. L. (1963). Applications of functional analysis in mathematical physics. Translations of Mathematical Monographs. (Vol. 7). Providence, R. I.: AMS.
Gutlyanskiĭ, V. Ya., Nesmelova, O. V., Ryazanov, V. I. & Yefimushkin, A. S. (2022). Hilbert problem with measurable data for semilinear equations of the Vekua type. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 2, pp. 3-10. https: //doi. org/10. 15407/dopovidi2022. 02. 003
Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Yakubov, E. & Yefimushkin, A. (2020). On Hilbert boundary value problem for Beltrami equation. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 45, No. 2, pp. 957-973. https: //doi. org/10. 5186/aasfm. 2020. 4552
Leray, J. & Schauder, Ju. (1934). Topologie et equations fonctionnelles. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 51, No. 3, pp. 45-78. https: //doi. org/10. 24033/asens. 836
Ahlfors, L. (1966). Lectures on quasiconformal mappings. New York: Van Nostrand.
Diaz, J. I. (1985). Nonlinear partial differential equations and free boundaries. Vol. 1: Elliptic equations. Research Notes in Mathematics. (Vol. 106). Boston: Pitman.
Aris, R. (1975). The mathematical theory of diffusion and reaction in permeable catalysts. Vol. I, II. Oxford: Clarendon Press. https: //doi. org/10. 1007/BF02459545
Gutlyanskiĭ, V., Nesmelova, O. & Ryazanov, V. (2018). On quasiconformal maps and semilinear equations in the plane. J. Math. Sci., 229, No. 1. pp. 7-29. https: //doi. org/10. 1007/s10958-018-3659-6
Zeldovic, Ya. B., Barenblatt, G. I., Librovich, V. B. & Mahviladze, G. M. (1985). The mathematical theory of combustion and explosions. New York: Consult. Bureau.
Pokhozhaev, S. I. (2010). Concerning an equation in the theory of combustion. Math. Notes, 88, No. 1-2, pp. 48-56. https: //doi. org/10. 1134/S0001434610070059
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2022 Доповіді Національної академії наук України
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.
