ПРО ЗАДАЧУ ДІРІХЛЕ ДЛЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ РІВНЯНЬ КОШІ—РІМАНА
DOI:
https://doi.org/10.15407/dopovidi2025.02.003Ключові слова:
Коші—Рімана, узагальнені рівняння Коші—Рімана, задача Діріхле, рівняння Бельтрамі, A-гармонічні рівнянняАнотація
Стаття містить огляд наслідків теорії рівнянь Бельтрамі з комплексного аналізу для задачі Діріхле до узагальненого рівняння Коші—Рімана ∇v = B∇u на дійсній площині R2, що описує потоки рідини в анізотропних та неоднорідних середовищах, де коефіцієнт B представлено у вигляді 2 × 2 матриці, а градієнти ∇u та ∇v інтерпретуються як вектор-стовпці. Крім того, з’ясовується зв’язок цього рівняння з A-гармонічним рівнянням div (A∇u) = 0 з матричними коефіцієнтами A, яке є одним із головних рівнянь теорії потенціалу, а саме гідромеханіки (механіки рідин) в анізотропних та неоднорідних середовищах на площині. Огляд включає низку ефективних інтегральних критеріїв існування регулярних розв’язків задачі Діріхле з неперервними даними в довільних обмежених однозв’язних областях для узагальнених рівнянь Коші—Рімана з матричними коефіцієнтами в умовах анізотропних та неоднорідних середовищ.
Завантаження
Посилання
Ahlfors, L. (1966). Lectures on Quasiconformal Mappings. New York: Van Nostrand.
Astala, K., Iwaniec, T. & Martin, G. J. (2009). Elliptic differential equations and quasiconformal mappings in the plane. Princeton Math., Ser. 48. Princeton: Princeton Univ. Press.
Bojarski, B., Gutlyanskii, V., Martio, O. & Ryazanov, V. (2013). Infinitesimal geometry of quasiconformal and bi-Lipschitz mappings in the plane. EMS Tracts in Mathematics, 19. Zürich: European Mathematical Society.
Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2012). The Beltrami Equation: A Geometric Approach. Developments in Mathematics 26. Berlin: Springer.
Lehto, O. & Virtanen, K. I. (1973). Quasiconformal mappings in the plane. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 126. Berlin-Heidelberg-New York: Springer.
Martio, O., Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2009). Moduli in modern mapping theory. Springer Monographs in Mathematics. New York: Springer.
Gutlyanskii, V., Martio, O., Sugawa, T. & Vuorinen, M. (2005). On the degenerate Beltrami equation. Trans. Amer. Math. Soc., 357(3), pp. 875-900.
Gutlyanskii, V., Nesmelova, O., Ryazanov, V. & Yakubov, E. (2024). BMO and Dirichlet problem for semi-linear equations in the plane. Topological Methods in Nonlinear Analysis, 64(1), pp. 163-199. https://doi.org/10.12775/ TMNA.2023.052.
Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Sevost’yanov, E. & Yakubov, E. (2022). BMO and Dirichlet problem for degenerate Beltrami equation. J. Math. Sci. (New York), 268(2), pp. 157-177. (Translation from Ukr. Mat. Visn., 19(3), pp. 327-354).
John, F. & Nirenberg, L. (1961). On functions of bounded mean oscillation. Comm. Pure Appl. Math., 14, pp. 415-426.
Heinonen, J., Kilpeläinen, T. & Martio, O. (1993). Nonlinear A-harmonic theory of degenerate elliptic equa- tions. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications, The Clarendon Press. New York: Ox- ford Univ. Press.
Reimann, H. M. & Rychener, T. (1975). Funktionen Beschränkter Mittlerer Oscillation. Lecture Notes in Math.
Sarason, D. (1975). Functions of vanishing mean oscillation. Trans. Amer. Math. Soc., 207, pp. 391-405.
Brezis, H. & Nirenberg, L. (1995). Degree theory and BMO. I. Compact manifolds without boundaries. Selecta Math. (N.S.), 1(2), pp. 197-263.
Ignat’ev, A. A. & Ryazanov, V. I. (2005). Finite mean oscillation in the mapping theory. Ukrainian Math. Bull., 2(3), pp. 403-424.
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2025 Доповіді Національної академії наук України
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.
