ЗАДАЧА ДІРІХЛЕ ДЛЯ ЗАГАЛЬНОГО А-ГАРМОНІЧНОГО РІВНЯННЯ В ОДНОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЯХ
DOI:
https://doi.org/10.15407/dopovidi2026.02.003Ключові слова:
задача Діріхле, Aгармонічне рівняння, однозв’язна область, рівняння БельтраміАнотація
Розглянуто теореми існування, представлення та регулярності розв’язків задачі Діріхле з неперервними даними для загального Aгармонічного рівняння div A grad U = 0 на дійсній площині з матричнозначними коефіцієнтами . Зазначене рівняння є одним з основних рівнянь гідромеханіки (механіки рідини) в анізо- тропних та неоднорідних середовищах . Наведено ряд ефективних інтегральних критеріїв розв’язності цієї задачі типу Кальдерона—Зигмунда, Діні—Лаврентьєва—Лехто, Орліча, BMO, FMO та VMO у довільних обмежених однозв’язних областях, які включають всі жорданові області . Ці результати базуються на теорії так званих рівнянь Бельтрамі з двома характеристиками на комплексній площині і сформульовані через відповідні два комплексні параметри, пов’язані з A .
Завантаження
Посилання
Astala, K., Iwaniec, T. & Martin, G. (2009). Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings in the plane. Princeton Mathematical. Series 48. Princeton, NJ: Princeton University Press.
Heinonen, J., Kilpelainen, T. & Martio, O. (1993). Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations. Oxford: Oxford University Press.
Bojarski, B. V (2009). Generalized solutions of a system of differential equations of the first order and elliptic type with discontinuous coefficients. University of Jyväskylä. Department of Mathematics and Statistics, Report 118 (pp. 1-64). Jyväskylä: University Printing House.
Bojarski, B., Gutlyanskii, V. & Ryazanov, V. (2014). On existence and representation of solutions for general degenerate Beltrami equations. Complex Var. Elliptic Equ., 59, No. 1, pp. 67-75. https://doi.org/10.1080/17476933.2013.795955
Bojarski, B., Gutlyanskii, V. & Ryazanov, V. (2013). Dirichlet problem for the general Beltrami equation in Jordan domains. J. Math. Sci., 190, No. 4, pp. 525-538. https://doi.org/10.1007/s10958-013-1269-x
Bojarski, B., Gutlyanskii, V. & Ryazanov, V. (2012). On the Dirichlet problem for general degenerate Beltrami equations. Bull. Soc. Sci. Lett. Lodz, Ser. Rech. Deform., 62, No. 2, pp. 29-43.
Bojarski, B., Gutlyanskii, V. & Ryazanov, V. (2011). On integral conditions for the general Beltrami equations. Complex Anal. Oper. Theory, 5, No. 3, pp. 835-845. https://doi.org/10.1007/s11785-010-0088-z
Bojarski, B., Gutlyanskii, V. & Ryazanov, V. (2009). On the Beltrami equations with two characteristics. Complex Var. Elliptic Equ., 54, No. 10, pp. 935-950. https://doi.org/10.1080/17476930903030069
Gulyanskii, V., Ryazanov, V., Salimov, R. & Sevost’yanov, E. (2025). Dirichlet problem for general Beltrami equations in simply connected domains. Ukr. Math. Bull., 22, No. 4, pp. 477-498.
Bojarski, B., Gutlyanskii, V., Martio, O. & Ryazanov, V. (2013). Infinitesimal geometry of quasiconformal and bi-Lipschitz mappings in the plane. EMS Tracts in Mathematics, Vol. 19. Zürich: European Mathematical Society. https://doi.org/10.4171/122
Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2012). The Beltrami equation: A geometric approach. Developments in Mathematics, Vol. 26. Berlin: Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-3191-6
Martio, O., Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2009). Moduli in modern mapping theory. Springer Monographs in Mathematics. New York: Springer. https://doi.org/10.1007/978-0-387-85588-2
Hencl S. & Koskela P. (2014). Lectures on mappings of finite distortion. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 2096. Cham: Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-03173-6
Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Sevost'yanov, E. & Yakubov, E. (2022). BMO and Dirichlet problem for degenerate Beltrami equation. J. Math. Sci., 268, No. 2, pp. 157-177. https://doi.org/10.1007/s10958-022-06189-w
Gutlyanskii, V. Ya., Ryazanov, V. I., Sevost’yanov, E. A. & Yakubov, E. (2023). On the Dirichlet problem for A-harmonic functions. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 4, pp. 11-19. https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.04.011
Ransford, Th. (1995). Potential theory in the complex plane. London Mathematical Society Student Texts, Vol. 28. Cambridge: Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9780511623776
John, F. & Nirenberg, L. (1961). On functions of bounded mean oscillation. Comm. Pure Appl. Math., 14, pp. 415-426. https://doi.org/10.1002/cpa.3160140317
Reimann, H.M. & Rychener, T. (1975). Funktionen beschränkter mittlerer oszillation. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 487. Berlin: Springer. https://doi.org/10.1007/BFb0081825
Sarason, D. (1975). Functions of vanishing mean oscillation. Trans. Amer. Math. Soc., 207, pp. 391-405. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1975-0377518-3
Brezis, H. & Nirenberg, L. (1995). Degree theory and BMO; part I: Compact manifolds without boundaries. Selecta Math., New Ser., 1, No. 2, pp.197-263. https://doi.org/10.1007/BF01671566
Ignat’ev, A. A. & Ryazanov, V. I. (2005). Finite mean oscillation in the mapping theory. Ukr. Math. Bull., 2, No. 3, pp. 403-424.
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2026 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.
