Про ідеали та контраідеали в алгебрах Лейбніца

Анотація

Підалгебра S алгебри Лейбніца L називається контраідеалом, якщо ідеал, породжений S, збігається з L. Вивчено алгебри Лейбніца, підалгебри яких є або ідеалом, або контраідеалом. Нехай L — алгебра над по• лем F з бінарними операціями + і [ , ]. Тоді L називається алгеброю Лейбніца (точніше, лівою алгеброю Лейбніца), якщо вона задовольняє тотожність [[a, b], c] = [a, [b, c]] – [b, [a, c]] для всіх a, b, c ∈ L. Також використано іншу форму цієї тотожності: [a, [b, c]] = [[a, b], c] + [b, [a, c]]. Алгебри Лейбніца є узагальнен• ням алгебр Лі. Підпростір A алгебри Лейбніца L називається підалгеброю, якщо [x,y] ∈ A для всіх елементів x, y  A. Підалгебра A називається лівим (відповідно правим) ідеалом L, якщо [y, x] ∈ A (відповідно [x, y] ∈ A) для всіх x ∈ A, y ∈ L. Іншими словами, якщо A є лівим (відповідно правим) ідеалом, то [L, A] ≤ A (відповідно [A, L] ≤ A ). Підалгебра A із L називається ідеалом L (точніше, двостороннім ідеалом), якщо вона одночасно є лівим і правим ідеалом так, що [x, y], [y, x] ∈ A для всіх x ∈ A, y ∈ L. Підалгебра A із L називається контраідеалом L, якщо AL = L. Теорія алгебр Лейбніца розвивається досить інтенсивно, проте дуже нерівномірно. Однак існують природні для будь•яких алгебраїчних структур задачі, що раніше не розглядалися для алгебр Лейбніца. Отримано повний опис алгебр Лейбніца, які не є алгебрами Лі, підалгебри яких є ідеалом або контраідеалом. Також отримано опис алгебр Лі, всі підалгебри яких є ідеалами або контраідеалами, з точністю до простих алгебр Лі.