Властивість локалізації для згорток узагальнених періодичних функцій

Анотація

Відомий принцип локалізації Рімана для рядів Фур’є сумовних функцій переформульовано для згорток узагальнених періодичних функцій із сім’ями функцій, які, як правило, збігаються з ядрами певних лінійних методів підсумовування рядів Фур’є (наприклад, методів підсумовування типу Гаусса—Вейєрштрасса). Сім’ї функцій, для яких виконується принцип локалізації Рімана, називаємо сім’ями функцій класу L(X) . Знайдені необхідні й достатні умови належності сім’ї функцій до класу L(X) у випадку, коли X — досить широкий неквазіаналітичний клас періодичних функцій або X — клас аналітичних періодичних функцій (зокрема, X =G{β} при β > 1 і X =G{β}, якщо 0 < β1). Обґрунтовано також означення “аналітичний функціонал рівний нулю на відкритій множині”; наведено конкретний приклад аналітичного функціонала, який рівний нулю на (a, b)⊂[0, 2π]. Використання одержаного результату в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними дає можливість знайти нову властивість (властивість локалізації, властивість локального покращення збіжності) розв’язків багатьох задач математичної фізики, оскільки такі розв’язки часто зображуються у вигляді згортки деякої сім’ї основних функцій з простору X з функцією F, заданою на межі області, при цьому F може бути узагальненою функцією з простору X′ .