Необхідна умова існування простої замкненої геодезичної на правильному тетраедрі у сферичному просторі
DOI:
https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.10.009Ключові слова:
замкнені геодезичні, правильний тетраедр, сферичний простірАнотація
У сферичному просторі кривина граней тетраедра дорівнює 1, і кривина усього тетраедра зосереджена як у його вершинах, так і на гранях. Внутрішня геометрія правильного тетраедра у сферичному просторі залежить від величини α кута його грані, де π/3 < α ⩽ 2π/3. Проста (без самоперетину) замкнена геодезична на тетраедрі має тип (p,q), якщо ця геодезична перетинає у p точках одну пару протилежних ребер тетраедра, у q точках — іншу пару протилежних ребер тетраедра і у (p+q) точках — третю пару протилежних ребер тетраедра. Показано, що для кожної пари взаємно простих натуральних чисел (p,q) існує таке число αp, q (π/3 < αp, q < 2π/3), що на правильному тетраедрі у сферичному просторі з кутом грані величини α > αp, q не існує простої замкненої геодезичної типу (p,q).
Завантаження
Посилання
Lusternik, L. A. & Schnirelmann, L. G. (1927). On the problem of tree geodesics on the surfaces of genus zero. C. R. Acad. Sci., 189, pp. 269-271 (in French).
Lusternik, L. A. & Schnirelmann, L. G. (1947). Topological methods in variational problems and their application to the differential geometry of surfaces. Uspekhi Mat. Nauk, 2, Iss. 1, pp. 166-217 (in Russian).
Huber, H. (1959). On the analytic theory hyperbolic spatial forms and motion groups. Math. Ann., 138, pp.1-26 (in German). https://doi.org/10.1007/BF01369663
Huber, H. (1961). On the analytic theory hyperbolic spatial forms and motion groups II. Math. Ann., 143, pp. 463-464 (in German). https://doi.org/10.1007/BF01451031
Rivin, I. (2001). Simple curves on surfaces. Geometriae Dedicata, 87, pp. 345-360. https://doi.org/10.1023/A:1012010721583
[6] Mirzakhani, M. (2008). Growth of the number of simple closed geodesics on hyperbolic surfaces. Ann. Math., 168, pp. 97-125. https://doi.org/10.4007/annals.2008.168.97
Toponogov, V. A. (1959). Riemann spaces with curvature bounded below. Uspekhi Mat. Nauk, 14, Iss. 1, pp. 87-130 (in Russian).
Vaigant, V. A. & Matukevich, O. Yu. (2001). Estimation of the length of a simple geodesic on a convex surface. Siberian Math. J., 42, No. 5, pp. 833-845. https://doi.org/10.1023/A:1011951207751
Fuchs, D. & Fuchs, E. (2007). Closed geodesics on regular polyhedra. Mosc. Math. J., 7, No. 2, pp. 265-279. https://doi.org/10.17323/1609-4514-2007-7-2-265-279
Fuchs, D. (2009). Geodesics on a regular dodecahedron: Preprints of Max Planck Institute for Mathematics, Bonn, 91, pp. 1-14. Retrieved from http://webdoc.sub.gwdg.de/ebook/serien/e/mpi_mathematik/2010/2009_91.pdf
Protasov, V. Yu. (2007). Closed geodesics on the surface of a simplex. Sb. Math., 198, No. 2, pp. 243-260. https://doi.org/10.4213/sm1501
Borisenko, A. A. & Sukhorebska, D. D. (2020). Simple closed geodesics on regular tetrahedra in Lobachevsky space. Sb. Math., 211, No. 5, pp. 617-642. https://doi.org/10.1070/sm9212
Borisenko, A. A. (2020). The estimation of the length of a convex curve in two-dimensional Alexandrov space. J. Math. Phys., Anal., Geom., 16, No. 3.
Toponogov, V. A. (1963). Estimation of the length of a convex curve on a two-dimensional surface. Sibirsk. Mat. Zhurn., 4, No. 5, pp. 1189-1183 (in Russian).
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2023 Доповіді Національної академії наук України
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.
