Класифікація диференціальних рівнянь за симетрійними властивостями
За матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 5 липня 2017 року
DOI:
https://doi.org/10.15407/visn2017.09.033Ключові слова:
ліївська симетрія, групова класифікація, група еквівалентності, метод відображень між класами, рівняння Кавахари, рівняння реакції–дифузії, точні розв’язкиАнотація
У доповіді розглянуто задачу класифікації ліївських симетрій у класах нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними. Такі симетрії, зокрема, дозволяють відібрати фізично важливі рівняння з певного класу, а також побудувати їх точні розв’язки. Для багатьох класів рівнянь, що є важливими для застосувань, класичні методи групового аналізу не дозволяють отримати вичерпну класифікацію симетрій. Такі задачі потребують нових підходів, більшість з яких ґрунтуються на використанні невироджених точкових перетворень. На прикладах групової класифікації узагальнених рівнянь Кавахари та квазілінійних рівнянь реакції–дифузії показано ефективність нещодавно розроблених методів, зокрема відшукання найбільш широких груп еквівалентності та відображень між класами.
Посилання
Dirac P.A.M. The evolution of the physicist’s picture of nature. Scientific American. 1963. 208(5): 47.
Olver P.J. Applications of Lie groups to differential equations. Graduate Texts in Mathematics, 107. (New York: Springer-Verlag, 1993).
Fushchich W.I., Nikitin A.G. Symmetries of equations of quantum mechanics. (New York: Allerton Press Inc., 1994).
Ovsiannikov L.V. Group analysis of differential equations. (New York: Academic Press, 1982).
Ibragimov N.H. (ed.). Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. V. 1–3. (Boca Raton: CRC Press, 1994, 1995, 1996).
Popovych R.O., Kunzinger M., Eshraghi H. Admissible transformations and normalized classes of nonlinear Schrödinger equations. Acta Appl. Math. 2010. 109(2): 315.
Samoilenko A.M. (ed). Fushchych W.I. Selected Works. (Kyiv: Naukova Dumka, 2005).
Popovych R.O. Classification of admissible transformations of differential equations. Collection of Works of Institute of Mathematics. 2006. 3(2): 239.
Popovych R.O., Bihlo A. Symmetry preserving parameterization schemes. J. Math. Phys. 2012. 53(7): 073102.
Vaneeva O.O., Popovych R.O., Sophocleous C. Enhanced group analysis and exact solutions of variable coefficient semilinear diffusion equations with a power source. Acta Appl. Math. 2009. 106(1): 1.
Ivanova N.M., Popovych R.O., Sophocleous C. Group analysis of variable coefficient diffusion-convection equations. II. Contractions and exact solutions. arXiv: 0710.3049.
Vaneeva O.O., Popovych R.O, Sophocleous C. Extended group analysis of variable coefficient reaction-diffusion equations with exponential nonlinearities. J. Math. Anal. Appl. 2012. 396(1): 225.
Nikitin A.G., Popovych R.O. Group classification of nonlinear Schrödinger equations. Ukr. Math. J. 2001. 53(8):1255.
Popovych R.O., Ivanova N.M. New results on group classification of nonlinear diffusion-convection equations, J. Phys. A. 2004. 37(30): 7547.
Vaneeva O. Lie symmetries and exact solutions of variable coefficient mKdV equations: An equivalence based approach. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2012. 17(2): 611.
Kuriksha O., Pošta S., Vaneeva O. Group classification of variable coefficient generalized Kawahara equations. J. Phys. A: Math. Theor. 2014. 47(4): 045201.
Kawahara T. Oscillatory solitary waves in dispersive media. J. Phys. Soc. Jpn. 1972. 33: 260.
Kamin S., Rosenau P. Nonlinear thermal evolution in an inhomogeneous medium. J. Math. Phys. 1982. 23(7): 1385.
Vaneeva O., Kuriksha O., Sophocleous C. Enhanced group classification of Gardner equations with time-dependent coefficients. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2015. 22(1-3): 1243.
Vaneeva O.O., Popovych R.O., Sophocleous C. Group analysis of Benjamin–Bona–Mahony equations with time dependent coefficients. J. Phys.: Conf. Ser. 2015. 621(1): 012016.
Vaneeva O., Pošta S., Sophocleous C. Enhanced group classification of Benjamin–Bona–Mahony–Burgers equations. Appl. Math. Lett. 2017. 65: 19.
Vaneeva O.O., Sophocleous C., Leach P.G.L. Lie symmetries of generalized Burgers equations: application to boundary-value problems. J. Eng. Math. 2015. 91(1): 165.
Vaneeva O., Karadzhov Yu., Sophocleous C. Group analysis of a class of nonlinear Kolmogorov equations. In: Lie theory and its applications in physics. Springer Proc. Math. Stat. (Singapore: Springer, 2016). P. 349–360.
Vaneeva O.O., Popovych R.O., Sophocleous C. Equivalence transformations in the study of integrability. Physica scripta. 2014. 89(3): 038003.
