Інваріантні міри на діаграмах Браттелі
За матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 17 червня 2015 року
DOI:
https://doi.org/10.15407/visn2015.09.080Ключові слова:
канторівська динамічна система, ергодична інваріантна міра, діаграма Браттелі, орбітальна еквівалентністьАнотація
Результати, висвітлені у доповіді, присвячено проблемі класифікації канторівських динамічних систем з точністю до орбітальної еквівалентності. Ключову роль у такій класифікації відіграє дослідження інваріантних мір для цих динамічних систем. Наведено повну класифікацію широкого класу як скінченних, так і нескiнченних борелiвських мiр на канторiвських просторах. Зокрема, отримано повну класифікацію ергодичних мiр, iнварiантних для аперiодичних пiдстановочних динамiчних систем. Такі міри є інваріантними для кофінального відношення еквівалентності на просторах шляхів стаціонарних діаграм Браттелі. Досліджено структуру ергодичних мір на просторі шляхів довільної діаграми Браттелі, зокрема, знайдено опис піддіаграм, які є носіями скінченних ергодичних інваріантних мір. Ці результати є суттєвим кроком на шляху вирішення відкритого питання щодо класифікації канторівських аперіодичних динамічних систем з точністю до орбітальної еквівалентності.
Посилання
Morse M. A one-to-one representation of geodesics on a surface of negative curvature. Am. J. Math. 1921. 43: 33. http://doi.org/10.2307/2370306
Morse M., Hedlund G. Symbolic dynamics. Am. J. Math. 1938. 60(4): 815. http://doi.org/10.2307/2371264
Durand F. Combinatorics on Bratteli diagrams and dynamical systems. In: Combinatorics, Automata and Number Theory (Eds. V. Berthe, M. Rigo). (Cambridge: University Press, 2010). http://doi.org/10.1017/CBO9780511777653.007
Putnam I. Orbit equivalence of Cantor minimal systems: a survey and a new proof. Expo. Math. 2010. 28(2): 101. http://doi.org/10.1016/j.exmath.2009.06.002
Bezuglyi S., Karpel O. Bratteli diagrams: structure, measures, dynamics. arXiv:1503.03360.
Bratteli O. Inductive limits of finite-dimensional C*-algebras. Trans. Am. Math. Soc. 1972. 171: 195.
Vershik A.M. A theorem on Markov periodic approximation іn ergodic theory. Zap. Nauchn. Sem. LOMI. 1982. 115: 72. [in Russian].
Herman R.H., Putnam I., Skau C. Ordered Bratteli diagrams, dimension groups, and topological dynamics. Int. J. Math. 1992. 3(6): 827. http://doi.org/10.1142/S0129167X92000382
Medynets K. Cantor aperiodic systems and Bratteli diagrams. Comptes Rendus Mathematique. 2006. 342(1): 43. http://doi.org/10.1016/j.crma.2005.10.024
Giordano T., Putnam I., Skau C. Topological orbit equivalence and C*-crossed products. J. Reine Angew. Math. 1995. 469: 51.
Bezuglyi S., Karpel O. Homeomorphic Measures on Stationary Bratteli Diagrams. J. Funct. Anal. 2011. 261(12): 3519. http://ddoi.org/10.1016/j.jfa.2011.08.009
Karpel O. Infinite measures on Cantor spaces. J. Difference Equ. Appl. 2012. 18(4): 703. http://doi.org/10.1080/10236198.2011.620955
Durand F., Host B., Skau C. Substitutional dynamical systems. Bratteli diagrams and dimension groups. Ergodic Theory Dynam. Syst. 1999. 19(4): 953. http://doi.org/10.1017/S0143385799133947
Bezuglyi S., Kwiatkowski J., Medynets K. Aperiodic substitution systems and their Bratteli diagrams. Ergodic Theory Dynam. Syst. 2009. 29(1): 37. http://doi.org/10.1017/S0143385708000230
Oxtoby J.C., Ulam S.M. Measure preserving homeomorphisms and metrical transitivity. Ann. Math. 1941. 42: 874. http://doi.org/10.2307/1968772
Alpern S., Prasad V.S. Typical Dynamics of Volume Preserving Homeomorphisms. (Cambridge: Cambridge University Press, 2000).
Akin E. Measures on Cantor space. Topology Proc. 1999. 24: 1.
Navarro-Bermudez F.J. Topologically equivalent measures in the Cantor space. Proc. Am. Math. Soc. 1979. 77(2): 229. http://doi.org/10.2307/2042644
Akin E., Dougherty R., Mauldin R.D., Yingst A. Which Bernoulli measures are good measures? Colloq. Math. 2008. 110: 243. http://doi.org/10.4064/cm110-2-2
Austin T.D. A pair of non-homeomorphic product measures on the Cantor set. Math. Proc. Cam. Phil. Soc. 2007. 142: 103. http://doi.org/10.1017/S0305004106009741
Karpel O. Good measures on locally compact Cantor sets. J. Math. Phys. Anal. Geom. 2012. 8: 260.
Bezuglyi S., Karpel O. Orbit Equivalent Substitution Dynamical Systems and Complexity. Proc. Am. Math. Soc. 2014. 142: 4155. http://doi.org/10.1090/S0002-9939-2014-12139-3
Bezuglyi S., Karpel O., Kwiatkowski J. Subdiagrams of Bratteli diagrams supporting finite invariant measures. J. Math. Phys. Anal. Geom. 2015. 11(1): 3.
Adamska M., Bezuglyi S., Karpel O., Kwiatkowski J. Subdiagrams and invariant measures of Bratteli diagrams. arXiv:1502.05690.
Bezuglyi S., Jorgensen P. Representations of Cuntz-Krieger relations, dynamics on Bratteli diagrams, and path-space measures. arXiv:1410.2318.
Bezuglyi S., Handelman D. Measures on Cantor sets: The good, the ugly, the bad. Trans. Am. Math. Soc. 2014. 366(12): 6247. http://doi.org/10.1090/S0002-9947-2014-06035-2
