Дослідження дисперсійного рівняння для широтних акустико-гравітаційних хвиль

Анотація

Акустико-гравітаційні хвилі є прикладом процесів, які в значній мірі визначають динаміку земної атмосфери. Пов‘язано це з тим, що джерела цих хвиль розташовані по всій висоті атмосфери, ¾ від самого «низу», де діють землетруси, вулканічні викиди, цунамі, торнадо, тощо, і до самого «верху», де діють збурення сонячного вітру, магнітні бурі і висипання часток в високих широтах. Все це призводить до активного обміну енергією між всіма шарами атмосфери Землі і взаємодії хвильових збурень суттєво різних масштабів ¾ від кількох тисяч кілометрів до кількох сотень метрів, а це ¾ до появи і розвинення процесів конвекції і турбулізації в середовищі. Здавалося, що за таких умов повинні домінувати тільки нелінійні процеси. Значною мірою так воно і є, але разом з тим, спостереження вказують на те, що в процесі розповсюдження акустико-гравітаційних хвиль (АГХ) в багатьох випадках визначальними можуть виявитися ефекти, які можуть бути вичерпно описані в рамках лінійного наближення теорії збурень і добре розвиненої теорії коливань. При цьому при створенні моделей процесів виявилося доцільним використовувати достатньо обґрунтовані фізичні наближення такі як ізотермічність атмосфери, її необмеженість в горизонтальному напрямку і стисливість в вертикальному.        Враховуючи реальні масштаби АГХ, ми знехтували кривизною Земної поверхні і в будь якій точці поверхні вважати її локально пласкою, та користуватися в розрахунках декартовою системою координат X, Y, Z. Для опису середовища має сенс використовувати бездисипативну гідродинаміку, а в рівноважному стані рівняння гідростатичної рівноваги і барометричне рівняння. Вищенаведені наближення та математичний апарат теорії коливань і теорії диференційних рівнянь дозволяють при дослідженні початкової системи рівнянь, що описують динаміку АГХ, в результаті отримати дисперсійне рівняння у вигляді полінома четвертого степеня відносно кутової частоти обертання ω як функції нормованого хвильового вектора збурення  (АГХ). Отримання спектру АГХ, як спектру власних коливань атмосфери у вигляді  і його дослідження можна вважати остаточним розв‘язком початкової проблеми, якщо знехтувати очевидним впливом на спектр АГХ кутової частоти обертання атмосфери Ω, яка неодмінно повинна бути присутньою в дисперсійному рівнянні внаслідок впливу сили Коріоліса. Формальним приводом для відсутності у дисперсійному рівнянні (ДР) компонент вектора  є той факт, що  мінімум на два порядки величини менша за характерну частоту  обертання атмосфери, що дорівнює частоті акустичної відсічки. Разом з тим, вдосконалення сучасної апаратури атмосферних спостережень  висуває підвищені вимоги до точності модельних розв‘язків ДР. В цьому сенсі розв‘язок ДР в роботі [8] можна розглядати як  розв‘язок «нульового порядку» за малим параметром . До того ж, за методом  отримання, це розв‘язок є наближеним. За означенням більш точним є розв‘язок, що його отримано з врахуванням доданків з  в модифікованому ДР, в роботі [9].  Але і він є наближеним, хоча і більш точним.        У даній роботі детально досліджуємо дисперсійне рівняння для широтних АГХ. Необхідність такого розгляду, як буде показано, є наслідком структури цього рівняння, а саме присутності в ньому лінійного доданку пропорційного частоті. Попередній аналіз показав, що існуючі математичні методи не дають однозначного розв‘язку цього рівняння. Це наводить на думку про дослідження можливих розв‘язків рівняння щодо їх збігу з отриманими раніше для деяких часткових випадків. Таке дослідження дозволяє нам відібрати правильне рішення.  В запропонованому досліджені доведено, що метод Ейлера ¾ Лагранжа дозволяє за певних додаткових умов отримати точний розв‘язок модифікованого рівняння для АГХ в замкненому аналітичному вигляді.