Адаптивні алгоритми для задач про рівновагу в просторах Адамара

Анотація

Одним із популярних напрямів сучасного прикладного нелінійного аналізу є дослідження задач про рівновагу (нерівностей Кі Фаня, задач рівноважного програмування). У вигляді задачі про рівновагу можна сформулювати задачі математичного програмування, задачі векторної оптимізації, варіаційні нерівності та багато ігрових задач. Класичне формулювання задачі про рівновагу вперше з’явилося в роботах Х. Нікайдо та К. Ісоди, а перші загальні алгоритми проксимального типу для розв’язання задач про рівновагу запропонував А.С. Антипін. Останнім часом виник обумовлений проблемами математичної біології та машинного навчання інтерес до побудови теорії та алгоритмів розв’язання задач математичного програмування в метричних просторах Адамара. Ще однією сильною мотивацією для дослідження даних задач є можливість записати деякі неопуклі задачі у вигляді опуклих у просторі зі спеціально підібраною метрикою. У роботі розглядаються загальні задачі про рівновагу в метричних просторах Адамара. Для наближеного розв’язання задач запропоновано та досліджено нові адаптивні двоетапні проксимальні алгоритми. На кожному кроці алгоритмів слід здійснити послідовну мінімізацію двох спеціальних сильно опуклих функцій. На відміну від правил вибору величини кроку, що застосовувалися раніше, у запропонованих алгоритмах не обчислюються значення біфункції в додаткових точках та не потрібно знання інформації про величину ліпшицевих констант біфункції. Для псевдомонотонних біфункцій ліпшицевого типу, слабко напівнеперервних зверху по першій змінній, опуклих та напівнеперервних знизу по другій змінній, доведені теореми про слабку збіжність породжених алгоритмами послідовностей. Доведення засновані на використанні фейєрівської властивості алгоритмів відносно множини розв’язків задачі про рівновагу. Показано, що запропоновані методи можна застосувати до варіаційних нерівностей з ліпшицевими, секвенційно слабко неперервними та псевдомонотонними операторами, що діють у гільбертових просторах.